SOLITONES ÓPTICOS
JORGE FUJIOKA
Instituto de Física, Cubículo 55.
fujioka@fisica.unam.mx
solitonesopticos.blogspot.com
Primera reunión para fijar horario:
Jueves 1 de agosto, a las 16:00 hrs.Sala de Trabajo Académico 202,
3er piso del Instituto de Física.
Segunda reunión para fijar horario:
Martes 6 de agosto, a las 16:00 hrs.Tercera reunión para fijar horario:
Jueves 8 de agosto, a las 13:00 hrs.Salón de Seminarios 327 del Dpto. de Física de la Facultad.
Forma en que se dará el curso:
En el semestre 2024-2 el curso se dará de manera presencial.
Se darán 2 clases a la semana, de 1.5 hrs cada una.
El horario preciso lo elegirán los alumnos.
Pre-requisitos:
Cálculos I-IV. Ecs. Diferenciales I. Variable compleja I. Electromagnetismo
I.
Evaluación:
Tareas (90%) y un examen (10%).
RESUMEN:
Los solitones
ópticos son pulsos de luz de muy corta duración (alrededor de 5 ps) que
pueden viajar por fibras ópticas sin
deformarse. La existencia de estos pulsos es el fundamento de la tecnología
de telecomunicaciones por fibra óptica. Esta tecnología es realmente
sorprendente, ya que en muchos de los sistemas comerciales actuales más
eficientes se envían cien mil millones de pulsos de luz
cada segundo (i.e. trabajan a un
“bit-rate” de 100 Gb/s), y en 2019 entró en operación un nuevo cable entre EU y
España (el proyecto MAREA), que trabaja a 160 Tb/s (¡160 millones de millones
de pulsos por segundo!).
Pero las aplicaciones tecnológicas no son el único atractivo de los solitones ópticos. Otro atractivo
(quizás mayor) es que el comportamiento de estos solitones está gobernado por
ecuaciones diferenciales parciales no lineales (EDPNLs) sumamente interesantes,
la mayoría de las cuales son variantes de una EDPNL muy especial:
● LA ECUACIÓN NO LINEAL DE SCHRÖDINGER (NLS)
Esta ecuación es, probablemente, la EDPNL más
interesante de la física-matemática.
Para poder estudiar las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de
los solitones ópticos es necesario conocer un conjunto de ideas, teoremas,
técnicas matemáticas y conceptos nuevos, que
conforman todo un UNIVERSO DE MATEMÁTICAS especiales. Como ejemplos de los
temas y conceptos matemáticos que están en este universo podríamos mencionar
los siguientes:
• Ecuación de Korteweg-de Vries (KdV).
• Método de “inverse scattering”.
• Ecuación NLS.
• Método variacional de Anderson.
• Criterio de estabilidad de
Vakhitov-Kolokolov.
• Método de escalas múltiples.
• Teorema de Noether.
• Derivadas e integrales fraccionarias.
• Solitones fraccionarios.
• Solitones “discretos” (lattice
solitons).
• Solitones “embebidos”.
• Solitones caóticos.
Todos estos temas los veremos en este
curso.
El temario detallado puede verse más
abajo.
Quien logre dominar los temas que se
verán en este curso estará en condiciones de generar o analizar modelos nuevos
que describan la propagación de pulsos de luz en condiciones diferentes a las
ya estudiadas. Podrá buscar las condiciones para que existan solitones ópticos,
determinar si son estables, calcular cómo interactúan, encontrar qué cantidades
se conservan, … etc. Podrá generar modelos novedosos, que incluyan términos no
locales, derivadas fraccionarias, potenciales nuevos, modelos discretos, … etc.
Es importante mencionar, además, que las técnicas que estudiaremos en este curso no
sólo son útiles para estudiar el comportamiento de pulsos de luz en fibras
ópticas. Estas técnicas nos pueden servir para estudiar cualquier tipo de sistema no
lineal en el que sea posible la propagación de ondas. Por ejemplo, lo que
veremos en esta clase nos permite estudiar el comportamiento de condensados de
Bose-Einstein, ondas en agua, en plasmas, en cristales líquidos, en películas
de grafeno, e inclusive en líquidos complejos en los que existen efectos no
locales y efectos de memoria.
Uno
de los objetivos de este curso es que al final del semestre, aquellos alumnos
que hayan asimilado bien el material visto en la clase, estén en condiciones de
empezar a escribir sus propios artículos.
TEMARIO:
PRIMERA PARTE
1. Nacimiento de
los solitones ópticos y las telecomunicaciones por fibra óptica.
2. Gelfand. Miura. Obtención de KdV a partir de resortes. Cantidades conservadas.
3. La familia KdV.
3. La familia KdV.
4. Interacción de
solitones.
5. Dispersión.
6. Parte lineal de
la ecuación NLS.
SEGUNDA PARTE:
SEGUNDA PARTE:
7. El "Chirp". Nobel 2018. Telecomunicaciones. Fibras ópticas..
8. NLS por escalas múltiples.
9. NLS "espacial" y
"temporal" a partir de Maxwell.
10. Distintos solitones.
Parte no lineal de la ecuación NLS. Solución numérica.
11. "Self-steepening"(método de las características). Balas de luz.
TERCERA PARTE
12. Cálculo
variacional.
13. Método
variacional de Anderson.
14. Método
variacional de Hasegawa.
15. Solitones
embebidos.
16. Ausencia de
radiación en los solitones embebidos.
17. Criterio de
Vakhitov-Kolokolov.
18. Rompimientos
de simetría.
CUARTA PARTE
19. Propiedad de
Painlevé.
20. Formas
bilineales de Hirota.
21. Teorema de
Noether.
22. Cálculo
fraccionario.
23. Solitones ópticos
fraccionarios.
24. Solitones discretos.
25. Ecuaciones no locales.
26. NLS no paraxial. Curvas elípticas. Último Teorema de Fermat. Probs. mal planteados.
Bibliografía básica (textos):
1. J. Fujioka:
NLS: Una introducción a la ecuación no lineal de
Schrödinger,
Serie FENOMEC, UNAM, 2003.
2. Y.S. Kivshar and G.P. Agrawal:
Optical Solitons: From Fibers to Photonic Crystals,
Academic Press,
San Diego, CA , 2003.
3. G.P. Agrawal:
Nonlinear Fiber
Optics,
Academic Press, 3a
edición, 2001.
Bibliografía complementaria (artículos):
4. J. Fujioka and A. Espinosa:
Stability
of the Bright-type Algebraic Solitary-Wave Solutions
of
Two Extended Versions of the Nonlinear Schrödinger Equation.
J.
Phys. Soc. Japan 65 (1996) 2440-2446
5. J. Fujioka and A. Espinosa:
Soliton-like
Solutions of an Extended NLS Equation
Existing
in Resonance with Linear Dispersive Waves.
J. Phys. Soc. Japan 66 (1997) 2601-2607
6. A. Espinosa-Cerón, J. Fujioka
and A. Gómez-Rodríguez:
Embedded Solitons: Four-Frequency Radiation,
Front Propagation and Radiation
Inhibition.
Physica Scripta 67 (2003)
314.
7. S. González-Pérez-Sandi, J.
Fujioka and B.A. Malomed:
Embedded Solitons in Dynamical
Lattices.
Physica D 197
(2004) 86.
8. J. Fujioka, A. Espinosa-Cerón
and R.F. Rodríguez:
A survey of embedded solitons.
Rev. Mex. de Física 52 (2006)
6-14.
9. J. Fujioka,
A. Espinosa and R.F. Rodríguez:
Fractional Optical Solitons.
Physics Letters A 374
(2010) 1126-1134.
10. J. Fujioka, E. Cortés, R.
Pérez-Pascual, R.F. Rodríguez, A. Espinosa
and B.A. Malomed:
Chaotic solitons in the quadratic-cubic NLS equation
under nonlinearity management.
Chaos
21 (2011) 033120.
11. J. Fujioka:
La disyuntiva de Dios: ¿derivadas enteras o fraccionarias?
CIENCIA ergo sum 23-1 (marzo-junio 2014) 8791.
12. J. Fujioka, A. Gómez-Rodríguez and A. Espinosa
Cerón:
Pulse propagation models with bands of
forbidden frequencies forbidden
wavenumbers: a consequence of
abandoning the slowly varying envelope
approximation and taking into account
higher-order dispersion.
Applied Sciences 7 (2017) 340.
13. J. Fujioka and A. Espinosa:
Generalized Ablowitz-Ladik
equation with a dual Lagrangian structure.
Phys. Lett. A 383 (2019) 125849.
